《普通高中数学课程标准》把数学抽象列为六大核心素养之首，可见数学抽象的重要性。在日常做题中，学生对抽象函数，抽象的数学背景又往往是无从下手，认为它太神秘，难以研究。面对这样的情况，笔者对数学抽象的定义多次解读，内化于日常教学来提升学生的数学抽象核心素养。

一、多角度认识“数学抽象”

《现代汉语规范词典》185页这样解释抽象：从众多的具体事物中，抽取共同的，本质的属性，舍去个别的非本质的属性，从而形成概念。抽象思维：人类特有的高级认识活动。应用归纳和演绎、分析和综合等辩证思维方法，揭示事物的本质和内部联系。

《高中数学课程标准》对数学抽象又有自己学科的解释：数学抽象是舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征。

数学抽象是抽象思维在数学中的具体体现，我们可以看出从众多具体中找到其共同特征，抽取到本质的属性，形成概念是抽象主要表现形式，而从具体中抽象出规律和结构也是抽象的一种。认识到这两点，那我们在日常教学中，主要从这三个方面来培养学生的抽象能力。

二、“数学抽象”视角下的日常教学

（一）数学概念的形成教学中离不开高度抽象

数学概念的教学应该是一个高度抽象的过程，绝不应该是简单的结论告知。现实的学习情况调查中，教师常说学生连概念都不知道，好像学生自己该会的不会，或者说我们发现学生不会做题的根源是概念不清楚。笔者认为造成概念不清的根本原因是讲授概念课时，省略了学生抽象概括的过程，直接告知知识，生硬地让学生去记忆。正如章建跃教授所描述的：老师们总是走“掐头去尾烧中段”的教学捷径，应该让学生经历“从事实到概念”的数学抽象过程。学生头脑中的概念只有经过独立思考，通过自己主动的认知活动从具体的共性中抽象出来的，才会认识深刻。

我们以典型的函数概念为例，来探讨概念教学的基本路径。

环节一、现实问题出发，建立数学模型

以学生熟悉的运动学，力学和天文学中一些典型的问题为载体，也可以是生活中的熟悉情境为背景如出租车的公里与计价的关系，也可以是数学中半径和圆的面积的关系等。从一类活生生的情境中，归纳变量间的依赖关系。

环节二、结合初中已学的函数概念，进一步认识函数概念

初中的函数定义，是强调了变量之间的对应关系。这种对应关系常常要借助运算关系得到。那如果有两个变量，一个是咱们班的学生的学号，另一个变量是对应的数学成绩。这两变量之间的对应关系和函数的对应关系一致吗？特殊的，在平面直角坐标系中，找到A（0，1）和B（1，1），过AB可以画一条直线，那这条直线是函数图像吗？如果是，可以用我们学过的定义解释吗？

环节三、函数概念一般化

为了方便地刻画现实中的运动变化现象，同时更本质地反映变量之间的对应关系，除去具体例子的实际背景，我们需要用“集合语言”来刻画函数概念，你认为怎么刻画？带着下面的问题来思考①两个变量需要几个集合，集合需要满足什么条件？②自变量和因变量的对应关系如何描述？③对应有方向吗？④结合具体的函数实例，你认为研究函数还应该关注什么？⑤可以用数学符号语言来表达相关的量吗？

环节四、准确表述概念，辨析概念（课本概念，此处省略）

通过这四个环节来形成一个概念，来认识一个概念，进而掌握函数概念是学习概念的基本路径。函数概念从实际问题中抽象出共同特征，几何概念要从图形中归纳共同特征，概率统计要从关注的一类随机现象中去提取研究的对象.....无论是那条主线的课，我们都应该把抽象的过程交给学生。

（二）数学性质的发现教学中经历抽象过程

何为性质？不同类型数学对象的性质有不同的表现方式。依据高中数学的研究对象包括函数、几何、代数、概率与统计，那相应的性质就会有函数性质、几何性质、代数性质，概率的性质。我们以几何性质为例来展开认识，几何性质就是组成几何图形的元素之间的位置关系、大小关系及图形与图形之间的关系。

例如让学生经历探究平面与平面平行的判定定理，可以通过下面的问题引导学生一步一步由直观感知到形成定理。

问题1：准备一把三角尺，观察三角尺的边所在直线与桌面具有怎样的位置关系时，三角尺所在平面与桌面平行？

问题2：一个平面内一条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行吗？

问题3：一个平面内两条相交直线与另一平面平行，那么这两个平面平行吗？

问题4：一个平面内无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行吗？

问题5：怎样才能使两个平面平行？

问题6：如何用文字语言、符号语言和图形语言表述你得到的平面与平面平行的判定定理？

带着这六个问题，学生展开直观的感知，进行操作确认，再进行多角度的思辨论证，然后严谨的表述，最后可以用文字语言、符号语言抽象概括出判定定理。完整的经历才会有深刻的理解。这样的经历在发现函数性质、发现概率性质等数学性质教学中都是一样的路径。

（三）习题教学中，培养学生的数学抽象能力

数学抽象能力，在解题中表现在把各类现象建立联系的能力，分离出问题的核心和本质的能力，善于把具体问题抽象为数学模型的能力，由特殊到一般的能力等。在解题中处处要用到这种能力，那教师就应该抓住习题教学的机遇，提升学生的抽象概括的核心素养。下面从一道题的分析中来体会这种认知：

题目：已知函数，

求g（1）+g（2）+……+g（10）的值。

学生：三次函数不会分解，逐一计算太浪费时间。

师：能够理性对待这道题，不盲目计算，去寻求因式分解是好的思维，那我们降低维度，看同类题：已知函数，

求g（1）+g（2）+……+g（6）的值。

学生：对f（x）=x2-9x+18进行因式分解：f（x）=（x-3）（x-6）就可以得到3≤x≤6时，f（x）≤0∴f（x）+| f（x）|=0，因此要求的式子转化为f（1）+f（2）

师：大家体会到了因式分解化简式子的好处，那尝试着对原题中的三次函数进行因式分解，从而解决问题。

学生：我对式子结构调整，发现f（x）=（x+3）（x-3）（x-10），可以确定函数值的正负3≤x≤10时，f（x）≤0∴f（x）+| f（x）|=0，因此也将要求的式子转化为f（1）+f（2）

师：正确，在数学运算中，要学会观察式子的结构，式子中所涉及的项之间的联系以及它的数字特征。还想体验一把这种化简的妙处吗？

生：想！

师：实战演练一下，已知函数

求g（1）+g（2）+……+g（21）的值。

从上面这个教学片段，可以看出要让学生的思维真实的发生，必须溯源溯到他可以接受的区域，要想让学生的思维得到发展，必须在他踮起脚尖可以够得到的区域活动。只有在类比中抽象能力才能真实发生，真正提升。

概念课，性质课，习题课几乎囊括了数学的全部课型，它都拥有自身的特性，有相同的授课路径。它们又有不可分割的共性：要让学生对知识的获取经历真实发生，也即：知识不是空穴来风，方法不是从天而降，而是从具体体验中经过不断归纳、概括才能得到的。这就是抽象概括视角下的日常教学。

（柳国争  长治市第一中学教师）