【人物档案】
杨迎春，男，长治二中班主任及数学教师，汉族，山西省吕梁市人，大学本科，出生于1985年2月，2005年7月加入中国共产党，2006年9月参加工作，中小学一级教师。自参加工作以来，他始终坚守立德树人教育使命，用心、用情、用爱教育学生。2022年高考，他所带540班有3名同学考入清华大学、北京大学，其中李思旸同学获得了长治市第一名，山西省第五名，原耀庭同学获得了长治市第二名，山西省第二十一名，600分以上15人，43人考入985名校，一本达线率95%。他所带学生高考数学成绩优异，多人满分，先后有50多人在数学竞赛中获奖，其中1人获全国高中数学联赛山西省第一名，同年获团体得分全省第一名；2人获得奥林匹克竞赛冬令营铜牌；2人获得清华、北大保送加分资格。他多次获得省市以上表彰，2019年3月，被中共山西省委人才工作领导小组评为山西省“三晋英才”支持计划青年优秀人才；2019年10月，被教育部评为“全国优秀教师”；2021年10月，被推选为山西省第十二次党代会代表。
大家好！数学对很多人来说是枯燥的、深奥的、抽象的，这是不争的事实，但并不等于说数学就是难学的。加拿大数学家约翰·麦顿有一本书叫作《数学面前，人人平等》，他在书中提到：“数学是一种常识，是人人都可以拥有的思考能力。但由于人们对数学的误解，多数人从来没有机会看到自己的数学天分。他们没有遇到相信自己的老师，被对智力偏见困扰，过早放弃了对数学的兴趣。”他指出：“每个人都有数学天赋。”当然，这并不是空谈，而是结合大量的实例，并利用认知心理学研究来说明的。
一、人人都能学好数学
有位数学教育家说过：“掌握数学，就是善于解题，但不完全在于解题的多少，还在于解题前的分析探索和解题后的深思穷究。”也就是说，解数学题不是一味地为了解题而解题，在解决问题的整个过程中，要有自己的思考和判断，要从解题中吸取、总结解题的方法，锻炼自己的思维，提升自己对于数学内容的理解，这一点，就是新高考强调的“数学题要考查考生的能力”。
那么，解题前后应该如何“分析探索”和“深思穷究”呢？
爱因斯坦曾说：“我们面对的重大问题永远不可能在产生问题本身的层次上被解决。”简单理解就是“打开锁的钥匙不在锁上”，否则开锁就很容易。问题本身是“果”，所以解决问题的前提是定义问题，即找到问题的“因”，而问题的“因”不在问题结构内部，需要跳出问题来思考问题。
实际上，世间万事万物都是相通的。我们平常遇到问题的时候，总是会思考问题的关键是什么？我们的目标是什么？有没有以往的经验作为借鉴？目前有什么条件？还需要准备什么？如何分步实施？比如我们要想写一篇优秀的作文，必须先进行审题，再进行创意，同时还要有写作提纲。这种创意常常来源于自己对生活的观察和体会，或者是自己的亲身经历、所感所想，靠杜撰绝对写不出好文章。
那么解决一道数学题也是一样的，首先要审题，弄清楚题目的已知是什么？目标是什么？我们要解决的是一个什么样的问题？解题的过程就是寻找“已知”与“目标”之间的联系和通道，就是要利用自己现有的数学知识、解题方法沟通这种联系，打开这个通道，或将问题化整为零、或将问题转化为比较熟悉的问题、或者将问题赋予特殊的含义等等。这些思考和探索，就是解题前的“分析探索”，而探索过程当中所使用的手段，是数学思维的积淀，是自己解题经验的总结，是解题之后的感悟。我们做完一道数学题，也要想着总结它的中心思想：比如题目涉及哪些知识点；题目中用到了哪些思想或方法；换个角度怎么看；题目提出的问题有没有普遍的意义；对题目有没有更好的理解方式，以此才能与命题人“沟通”，才有可能达到“领悟”的境界。这便是解题后的“深思穷究”。
我认为，在解题前后的“分析探索”和“深思穷究”中，最重要的是观察和联想。
下面我举几个例子。
例1：
定义在[-1，1]上的函数f（x）满足f（x）=2^x-2^（-x）+1，则关于x的不等式f（1-x）+f（1-x2）>2的解集为多少？
那么解决这样的问题，我在平时给学生讲题的时候我就提到过，我说解题最关键的就是要读题，那么读题当中最重要的就是观察和联想。
那么咱重新来看这道题说定义在[-1，1]上的函数，这个时候咱们就可以注意到，什么样的函数它的定义域关于原点是对称的呢？或者说命题人为什么要给这样一个关于原点对称的区间呢？那这个时候我们就可以联想到，高一一开始学到的奇函数和偶函数，也就是函数的奇偶性。
那么既然题目当中给出了这样一个关于原点对称的定义域，所以咱们有理由猜测所给的函数f（x）是不是具有具有奇偶性。那么带着这样一个方向咱们再往下读题，那么第二句话它说满足f（x）=2^x-2^（-x）+1，如果说在加1之前把这个函数拿出来，那就是一个f（x）=2^x-2^（-x），什么函数呢？就是一个奇函数，但是加上1以后这个奇偶性就被破坏了，虽然奇偶性被破坏掉了，但是咱们依然可以有两条路选择。
第一条路我可以接着来研究f（x）=2^x-2^（-x）。咱不妨把它设为一个新的函数，把它设成g（x），这个时候就得到了f（x）=g（x）+1，那么f（x）就变成了一个奇函数再加1的形式。那么接着往后边看，则关于x的不等式f（1-x）咱是不是就可以把它写成g（1-x）+1，那么紧接着加上f（1-x2）就可以把它写为g（1-x2）+1。这个时候右边大于2，大家一下子就明白了，左边的两个1合起来等于2，与右边的2就把它去掉了，这个不等式就转化为了g（1-x）+g（1-x2）>0这样一个形式。那么这个时候，再联想到g（x）又是奇函数，就是咱们非常熟悉的一种类型这是第一条路。
第二条路如果就着f（x）形式接着往下看，那么f（x）等于一个奇函数加1，虽然奇偶性被破坏了，但是图像依然有特点。什么特点，奇函数图像向上平移了一个单位，所以f（x）图像，它本身关于点（0，1）应当是对称的。那么这个时候咱再看后边所给的条件f（1-x）+f（1-x2）>2，是不是就非常熟悉了，那就是1-x2和（1-x）2，咱对它进行讨论就可以了。
好了这是咱们的这道例题，所以通过这道例题，咱就可以看到联想和观察在解题当中起到了非常重要的作用。
例2：
那么这道题，咱们从头来看。第一句话告诉f（x）为二次函数，那么二次函数咱们是比较熟悉的。第二句话说它的图像与坐标轴的交点为A（-1，0）B（2，0）C（0，m），m又是负整数，所以它的图像，咱们现在是可以把它想象到的，那么这个题当中的最重要的，最关键的一句话就是∠ACB为钝角。那么钝角怎么样去处理，咱们如何刻画角呢？
咱们整个高中阶段刻画角的工具是非常多的，咱们在三角函数当中学过cos（余弦）、学过tan（正切），咱们在平面向量当中研究过平面向量的夹角，在后面又研究过两条直线的夹角，还有空间当中学过一些线面角、二面角。尽管学过不少刻画角的工具，但是在做这道题的时候，很多同学也是不太好下手的。
那么咱再想，怎么样去研究钝角？钝角是由谁变过来的呢？如果咱们这样去想的话就能意识到，钝角无非就是由直角变出来的，包括锐角。那么有直角三角形以后，比方说A（-1，0） B（2，0）C（0，m），∠ACB是钝角，如果我把它往下挪一挪C，那么∠ACB就会变成直角，再往下，这个角就是锐角了。所以钝角和锐角实际上就是由直角变出来的。
那么清楚了这个以后，咱们就可以以AB为直径画一个圆，设这个圆与y轴的负半轴的交点为D，那这个时候∠ADB就是个直角。∠ADB为直角的话，运用咱们初中的知识很容易就能算出OD的长是√2。那么∠ACB为钝角，说明C点的纵坐标-√2<m<0，又因为m是负整数所以这个时候咱们就看到m就等于-1。
好了，那么这个题知道了A B C的坐标，这个二次函数的解析式咱们很快就把它解出来了。
例3：
好了我们来看这个题，在一条公路上每隔100千米有个仓库，共有5个仓库，1号仓库存有10吨货物，2号仓库有20吨，5号仓库有40吨，其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要0.5元运输费，那么最少要多少运输费才行？
这是上海市曾经的一道竞赛题。那么咱来看这个题列出式子并不难，咱们可以设A（1，0） B（2，0） C（3，0） D（4，0） E（5，0）分别代表着咱们的5个仓库。假设咱们要把所有的货物都运输x号仓库，那么这个时候咱们就得到了运输费用y=500（|x-1|+2|x-2|+4|x-5|）。那么这个式子咱们高中阶段没有见过这个函数，里面大大小小加起来实际上是7个绝对值，那么怎么办呢？
解决数学问题，除了联想和观察以外还有一种思路是非常重要的，就是退化。那么退回来，7个绝对值不会处理，那么6个会不会呢？不会。那么往回退3个会不会？2个会不会？1个会不会？1个绝对值咱们是肯定没有问题的。
咱们不妨来看，如果f（x）=|x-a|，图像咱们直接就可以把它画出来，它呈现一个V字形的图像。那么很显然，当且仅当x=a的时候，也就是说在图像的最中间取到了函数的最小值。这是第一种情形。
那么再往前走一步，变成两个绝对值呢？不妨设f（x）=|x-a|+|x-b|（a<b）。这个时候咱就可以把它接着往下打开，就等于大括号当x≤a当a<x<b以及x≥b，列出分段函数的形式，画出它的图像。这个时候从图像上直接就可以观察得到函数在中间的区间（a，b）取到了最小值。
那么这两个例子咱们就可以看到这样的函数在中间取到最小值，是巧合呢，还是必要的？那么咱不妨再来看，如果3个绝对值会怎么样。
设f（x）=|x-a|+|x-b|+|x-c| （a<b<c）咱们采用类似的方法，对它进行分类讨论。这个时候可以画出它的图像一共是4段，这4段图像当中，很显然在中间取到了最小值。那么看来这个结论不是巧合这么简单，那么它是什么样的原理呢？咱们可以一步一步来看。比方说当x足够大的时候，也就是说认为a<b<c，当x比c还大的时候，所有的绝对值去掉符号以后，一定都保持了原来的样子。那这个时候式子就变成了f（x）=3x-a-b-c，那么它的斜率为3，往左边退一个位置，也就说当 b<x<c 的时候，最后一个绝对值|x-c|，就变成了 c-x，那么这个时候就出现了一个-x。而前面两个绝对值去掉以后依然都是保持了x，那么抵消掉一个x以后，我的斜率变成了1，那么这个时候图像就变缓了。再往左边退一个，那就是x∈（a，b）的时候，那么它的解析式就变成了-x，那么这个时候的斜率就小于0。那么再往左边退，变成了图像的最左侧，当x≤a的时候，式子就变成了 -3x。那么咱就可以看到规律，当x从右侧的区间逐渐过渡到左侧区间的时候，x的系数实际上是在减小的，由正的逐渐变化成了0或者变化成负的，整个图像应该关于中间是对称的。所以咱们就从最初等的例子，咱们得出了一个一般的结论。
那么这样的话，咱们可以再拿4个绝对值的式子来进行验证。比方说f（x）=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|这个时候认为a<b<c<d，大家可以自己画出它的图像，你会发现它一定在中间取到最小值。
好了回到这个题的问题本身上，那么咱得到的式子当中是 |x-1|+2|x-2|+4|x-5|，一共是7的绝对值。咱们可以把它一一摆开，让里面的式子变成|x-1|+|x-2|+|x-2|+|x-5|+|x-5|+|x-5|+|x-5|，数一数中间是谁呢，中间是 |x-5|，所以答案就非常清楚了，一定用到第5号仓库运输费用是最少的。
当然也许有的同学就会说这个题并不难，咱们可以把1、2、3、4、5，依次代入就可以了。虽然是一道竞赛题，但这个题难度上并不大，这个方法确实是可以的。但是咱们可以再往远的想一想，如果把这个题改一下，如果把这个题改一下改成 f（x）=|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+...+2018|x-2018|，那么这个时候绝对值的个数是非常庞大的，咱们不可能一一代入，不可能把1、2、3、...、2018依次代入，那么这个运算量是非常大的。怎么办呢，咱们就可以数一数，一共有多少个绝对值。只需要算一算 1+2+3+...+2018，这就是个等差数列求和，这个非常容易。数出来以后，看看中间到底是谁，那么这个题也就把它解决掉了。那么这个题就是曾经的2018年北京大学自主招生的一道原题。
例4：
咱们一起来看这个例题。说已知平面内有n条直线，问它们将平面最多分割为多少个不同的区域？
那么这道题，类似于刚才那个题的解法，就可以把这个 n先退化回来。退到哪呢？退到n为1的时候。假如现在平面内只有一条直线，很显然，一条直线把平面最多分为两部分，这个时候咱不妨引进数列，把它记为a1=2。第二步，当n变为2的时候，平面内增加一条直线，那么两条直线最多分为几部分呢？那这个时候要想最多，两条直线就应该是相交的。那么两条相交的直线把平面分割出来是四部分，所以a2=4，这是第二步。那么n=3呢，在两条相交直线的基础上再增加第三条直线，这个时候咱通过画图可以发现，只有第三条直线和前面两条直线都相交的时候，你分割出来的平面区域才有可能是最多的，所以a3=7。
好了，那么到这咱们就可以去观察n等于1、2、3所得出的这个结论以及它的这个推导过程。那么这个过程当中你会发现，每增加一条直线，要想让平面区域分割的最多，那么这个增加的直线一定与之前所有的直线都是相交的。好了，那么相交以后，比如说三条直线，我把第三条加入以后，它就被前面的两条直线相交出现两个交点分割为三段，其中的每一段都把原来所在的区域一分为二。那么一分为二就是什么意思，也就是原来的平面区域都被增加了一部分，所以分割为三段，总数上增加了三个区域。那么找到了这个规律以后，咱们就可以看到，如果现在我有n-1条直线，再增加第n条直线的时候，要想分割的区域最多，只需要这条新增加的直线与原来的n减1条直线彼此都相交，那么这个时候新的直线就出现了n-1个交点，n-1个交点将它分为了 n 段，那么这n段在原来的区域当中全部把它一分为二，那么增加了n个区域，所以咱们借用数列当中的递推式就得到了an=a（n-1）+n，那么这样的话，咱们利用高中所学的叠加的方法，咱就能把 an 的公式把它求出来。
那么解决完这个问题之后，咱们再来看解决问题之后的深思穷究。那么怎么样去处理？原题当中给的是平面内有n条直线，把平面最多分割为多少个不同的区域，那么咱们可不可以把它做一个拓展，或者说做一个推广。
如果把平面改为空间，那么这样的话 n条直线，咱对应的把它修改为n个不同的平面，那么也就是说空间当中有n个不同的平面，这些平面会把空间最多分割为多少个不同的区域？那么你看n=1的时候咱知道，分割的区域一定是2个，n=2的时候最多的区域是4个，以此类推那么这样的问题又该如何解决呢？这就是这个题之后的一个深思穷究，那么这道题，本身也是前几年的一道竞赛题。
二、注意改进学习习惯
1.知识掌握过程中的三种不良习惯
第一种习惯，忽略理解，死记硬背：大部分学生认为只要记住公式、定理就可以了，殊不知知识是生长出来的，学习数学知识，一定要理解其导出的过程。否则将造成提取、应用知识的困难，同时也失去了对知识推导过程当中所蕴含的数学思想方法的吸取。比如前面例题当中提到的点到直线的距离公式，它的推导方法就是多样的，以及对于运算能力的高要求本身就有很高的价值。
第二，注重结论，轻视过程：数学命题的特点是条件和结论之间紧密相联的因果关系，不注重条件的掌握，常常会导致错误的结果，甚至是正确的结果、错误的过程。
第三，忽略及时复习和强化理解：“温故而知新”，重复是一种力量。很多同学往往有这样的感觉，就是每节课的内容好像都能听的“懂”，但是一做题就不会。其实课堂上的“懂”是师生共同参与努力的结果，要想真正变成自己的“会”，还需要有一个“内化”的过程，而这个过程必须从课内延伸到课外。必须及时进行复习，通过训练强化理解，这就是一个自身“领悟”的过程，这是谁也无法替代的。
2.解决问题过程中的四种不良心态
第一种心态，缺乏对已学习过的典型题目以及典型方法的积累：部分同学认为做了大量的练习，但是往往收效甚微，效果不佳。究其原因，主要是做题时为了完成任务，缺乏必要的总结和积累。在积累的基础上增强对题目的理解，不断吸取其中的智育营养，方可感悟其中所蕴含的数学思想方法。
第二，在解决新问题时，缺乏探索精神：“学数学不做题目，等于入宝山而空返。”学习数学，需要在解决问题的实践中不断探索。怕困难、过分依赖老师，久而久之便会形成不积极钻研的习惯。
第三，忽视解题过程的规范化，只追求答案：解题过程的规范不只是规范书写，更重要的是规范“思考方法”，同学们应该学会不断调控自己的思维过程，力争使解题尽善尽美。
第四，不注重算理，忽视对运算途径的选择与实施：数学运算是按照规则进行的，通用的规则和通行的方法当然要牢固掌握，但静止的相对性和运动的绝对性又决定了数学解题中的通法不可能一成不变。因此，在运用通法、通性解决问题时，不能忽视算理，更应该注重对合理简捷运算途径的猜想、推断与选择，那种不假思索、顺水推舟的做题方法必须改进。
3.复习巩固中的三种错误认识
第一，认为多做题可以代替复习理解：学好数学，做大量的配套练习是必要的，但只练不想、不思、不总结，未必有好结果。只有靠滚动式的总结，才能实现阶段性知识层次的飞跃，才能真正理解知识的内在本质。因此，善于思考、勤总结是复习过程中必需的，也是知识和方法不断积累的有效途径。
第二，不注意知识间的联系和知识的系统性：高考数学命题常常在知识的交汇处考查学生综合应用知识的能力，仅仅靠单一的知识掌握，必然会导致认知粗浅，综合能力弱。我们平时教学中的“前后兼顾”和“解题规律的总结”等均是为了强化知识间的联系，希望引起大家的重视。
第三，不善于纠正已犯过的错误：纠正错误的过程就是学习进步的过程，人类社会也是在与错误作斗争的过程当中发展起来的。因此，善于纠错，及时总结经验教训也是学习的重要环节，大家平时不要过多关注对错，而是更多的关注为什么“错”。
总之，课前预习做好心理准备；课上脑、耳、手、口协调，提高学习效率；课后及时复习总结，充分思考与内化。相信通过大家积极主动的学习，一定能够学好数学！
